Question

【題目】已知拋物線l1經過點E（1，0）和F（5，0），并交y軸于D（0，﹣5）；拋物線l2：y=ax2﹣（2a+2）x+3（a≠0），
（1）試求拋物線l1的函數(shù)解析式；
（2）求證：拋物線 l2與x軸一定有兩個不同的交點；
（3）若a=1，拋物線l1、l2頂點分別為、；當x的取值范圍是時，拋物線l1、l2 上的點的縱坐標同時隨橫坐標增大而增大；
（4）若a=1，已知直線MN分別與x軸、l1、l2分別交于點P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，當1≤m≤5時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線l1過E、F，

∴可設l1的解析式為y=a′（x﹣1）（x﹣5），

∵當x=0，y=﹣5，

∴﹣5=a′（﹣1）×（﹣5），

∴a′=﹣1，

∴y=﹣（x﹣1）（x﹣5）=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：在y=ax2﹣（2a+2）x+3中，令y=0可得ax2﹣（2a+2）x+3=0，

∵△=（2a+2）2﹣4a×3=4（a﹣ ）2+3＞0，

∴拋物線l2與x軸一定有兩個不同的交點

（3）（3，4）；（2，﹣1）；2≤x≤3
（4）

聯(lián)立兩拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴l(xiāng)1、l2的兩交點坐標為（1，0）和（4，3），且拋物線l1與x軸交于點（1，0）和（5，0），

∵直線MN分別與x軸、l1、l2分別交于點P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，

∴M（m，﹣m2+6m﹣5），N（m，m2﹣4m+3），

當1≤m≤4時，如圖1，

則MN=﹣m2+6m﹣5﹣（m2﹣4m+3）=﹣2m2+10m﹣8=﹣2（x﹣ ）2+ ，

∵﹣2＜0，

∴當m= 時，MN有最大值 ；

當4＜m≤5時，如圖2，

則MN=m2﹣4m+3﹣（﹣m2+6m﹣5）=2m2﹣10m+8，

∵MN=2m2﹣10m+8有最小值，但在對稱軸右邊MN隨x增大而增大，

∴當m=5時，MN最大=2×25﹣50+8=8，

綜合可知當1≤m≤5時，MN最大值為8

【解析】（3）解：當a=1時，
∵拋物線l1的解析式為y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4，拋物線l2的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴l(xiāng)1、l2的頂點分別為（3，4）、（2，﹣1），
∵﹣1＜0，1＞0，
∴拋物線l1開口向下，當x≤3時，y隨x的增大而增大，拋物線l2開口向上，當x≥2時，y隨x的增大而增大，
∴當2≤x≤3時，拋物線l1、l2上的點的縱坐標同時隨橫坐標增大而增大；
所以答案是：（3，4）；（2，﹣1）；2≤x≤3；
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．