Question

【題目】如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點、、分別為坐標(biāo)軸上的三個點，且，，．

（1）求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上一個動點，且在直線的上方，連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過拋物線頂點作直線軸，交軸于點，點是拋物線上、兩點間的一個動點（點不與、兩點重合），直線、與直線分別交于點、，當(dāng)點運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 點的坐標(biāo)為；（3）（或是定值）．

【解析】

（1）先求出點A、B、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

（2）先設(shè)點坐標(biāo)為，取中點，作，則點為所求，由此可以得到點M到y軸的距離是OB的一半，進而列出方程求解即可；

（3）過點作軸交軸與，設(shè)，由，可得以及，進而得到以及，最后用含有t的代數(shù)式分別表示出EF和EG的長，化簡即可．

（1）設(shè)拋物線的解析式為，

，，、、，

方程組

解得：，，，

經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式為；

（2）存在點，使四邊形為菱形．

理由為：設(shè)點坐標(biāo)為，

若使四邊形是菱形，則需要滿足與互相垂直且平分，

取中點，作，則點為所求，，，

，

解得（不合題意，舍去），

點的坐標(biāo)為；

（3）（或是定值），

理由如下：過點作軸交軸與，如圖：

設(shè)，則，，

∵點D為頂點，

∴DE為對稱軸，

∴CE=AE=2，

，

∴，

∴，

；

又，

∴，

，

，