Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，⊙C過(guò)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）．

（1）求圓心C的坐標(biāo)．

（2）拋物線y=ax2+bx+c過(guò)O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)y=-的圖象上，求拋物線的解析式．

（3）過(guò)圓心C作平行于x軸的直線DE，交⊙C于D，E兩點(diǎn)，試判斷D，E兩點(diǎn)是否在（2）中的拋物線上．

（4）若（2）中的拋物線上存在點(diǎn)P（x0，y0），滿(mǎn)足∠APB為鈍角，求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）圓心C的坐標(biāo)為（1，）；

（2）拋物線的解析式為y=x2﹣x；

（3）點(diǎn)D、E均在拋物線上；

（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

【解析】

試題分析：（1）如圖線段AB是圓C的直徑，因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)已知，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)A、O，所以可求得對(duì)稱(chēng)軸，即可求得與直線y=﹣x的交點(diǎn)，即是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式或者一般式，采用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（3）因?yàn)镈E∥x軸，且過(guò)點(diǎn)C，所以可得D、E的縱坐標(biāo)為，求得直徑AB的長(zhǎng)，可得D、E的橫坐標(biāo)，代入解析式即可判斷；

（4）因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿(mǎn)足∠APB為鈍角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

試題分析：（1）∵⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O

∴AB為⊙C的直徑

∴C為AB的中點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H，則有CH=OB=，OH=OA=1

∴圓心C的坐標(biāo)為（1，）．

（2）∵拋物線過(guò)O、A兩點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣x上，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）．

把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x．

（3）∵OA=2，OB=2，

∴AB==4，即⊙C的半徑r=2，

∴D（3，），E（﹣1，），

代入y=x2﹣x檢驗(yàn)，知點(diǎn)D、E均在拋物線上．

（4）∵AB為直徑，

∴當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿(mǎn)足∠APB為鈍角，

∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．