【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB:y=﹣x+與直線AC:y=+8交于點A,直線AB分別交x軸、y軸于B、E,直線AC分別交x軸、y軸于點C、D.
(1)求點A的坐標;
(2)在y軸左側(cè)作直線FG∥y軸,分別交直線AB、直線AC于點F、G,當FG=3DE時,過點G作直線GH⊥y軸于點H,在直線GH上找一點P,使|PF﹣PO|的值最大,求出P點的坐標及|PF﹣PO|的最大值;
(3)將一個45°角的頂點Q放在x軸上,使其角的一邊經(jīng)過A點,另一邊交直線AC于點R,當△AQR為等腰直角三角形時,請直接寫出點R的坐標.
【答案】(1)(﹣2,7);(2)(,4),;(3)①(5,),②(﹣9,)或(5,)或(12,14)或(﹣,).
【解析】
(1)聯(lián)立,解得:,故點A的坐標為(﹣2,7);
(2)當F、P、O三點共線時,|PF﹣PO|的值最大,即可求解;
(3)△AQR為等腰直角三角形,有如下圖所示的兩種情況,①AQ⊥AC,②當R'Q'⊥AC,分別求解即可.
(1)聯(lián)立,解得:,故點A的坐標為(﹣2,7);
(2)由題意得:點E、D、B、C的坐標分別為(0,)、(0,8)、(,0)、(﹣16,0).
過點A作MN∥x軸,分別交FG、DE于點M、N,則:AN=2.
∵FG∥DE,
∴△AFG∽△AED,∴3,則AM=6,
∴點M的橫坐標為:﹣8,
則點F、G的坐標分別為(﹣8,)、(﹣8,4),
在y軸上找到點O關(guān)于直線GH的對稱點O'(0,8),
連接FO'并延長,交直線GH于點P,此時,|PF﹣PO|的值最大,最大值為PO',
直線O'F的表達式為:yx+8,
當y=4時,x,即點P坐標為(,4),|PF﹣PO|=FO',故:點P坐標為(,4),|PF﹣PO|;
(3)△AQR為等腰直角三角形,有如下圖所示的兩種情況:
①當AQ⊥AC,當點R在點A下方時,
∴直線AQ的表達式為:y=﹣2x+b,將點A坐標代入得:7=﹣2×(﹣2)+b,解得:b=3,故:直線AQ的表達式為:y=﹣2x+3,則點Q坐標為(,0),過點A作x軸的平行線,過點R作y軸的平行線,過點Q作y軸的平行線,圍成矩形GMQH,∠GAR+∠QAH=90°,∠QAH+∠AQH=90°,
∴∠AQH=∠GAR,∠AGR=∠QHA=90°,AR=AQ,
∴△AGR≌△QHA(AAS),
∴HQ=GA=7,GR=AH=2,OM=2+GA=9,
∴RM=7.
故點R的坐標為(﹣9,),當點R在點A上方時,同理可得點R坐標為(5,);
②當R'Q'⊥AC時,同理,點R'的坐標為(12,14)或(﹣16,0).
綜上所述:點R的坐標為(﹣9,)或(5,)或(12,14)或().
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形為邊長為6的正方形,點為的中點,.動點在線段和上運動,另一動點在線段上運動.
用學(xué)過的知識解決下列問題:
(1)①填空:點的坐標____________________;
②求三角形的面積;
(2)求點在運動過程中,與的數(shù)量關(guān)系;
(3)兩個動點在運動過程中,是否存在使線段的長等于2的時刻,如果存在,求出此時點坐標;如果不存在,請你說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校墻邊有兩根木桿.
(1)某一時刻甲木桿在陽光下的影子如圖所示,你能畫出乙木桿的影子嗎?(用線段表示影子)
(2)當乙木桿移動到什么位置時,其影子剛好不落在墻上?
(3)在你所畫的圖中有相似三角形嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某學(xué)校八年級學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的情況,隨機抽查了該年級的部分學(xué)生,對其每周鍛煉時間進行統(tǒng)計,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成圖1和圖2兩個不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)本次共抽取了學(xué)生 人,并請將圖1條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ,求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(3)若八年級有學(xué)生1800人,請你估計體育鍛煉時間為3小時的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成推理填空:如圖在△ABC中,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,試說明∠AED=∠C.
解:∵∠1+∠EFD=180°(鄰補角定義),∠1+∠2=180°(已知。
∴ (同角的補角相等)①
∴ (內(nèi)錯角相等,兩直線平行)②
∴∠ADE=∠3( )③
∵∠3=∠B( )④
∴ (等量代換)⑤
∴DE∥BC( )⑥
∴∠AED=∠C( )⑦
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為增強學(xué)生體質(zhì),各學(xué)校普遍開展了陽光體育活動,某校為了解全校1000名學(xué)生每周課外體育活動時間的情況,隨機調(diào)查了其中的50名學(xué)生,對這50名學(xué)生每周課外體育活動時間x(單位:小時)進行了統(tǒng)計.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了一幅不完整的統(tǒng)計圖,并知道每周課外體育活動時間在6≤x<8小時的學(xué)生人數(shù)占24%.根據(jù)以上信息及統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次調(diào)查屬于 調(diào)查,樣本容量是 ;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖中空缺的部分;
(3)求這50名學(xué)生每周課外體育活動時間的平均數(shù);
(4)估計全校學(xué)生每周課外體育活動時間不少于6小時的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分∠ABC, P是BD上一點,過點P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M、N.
(1)求證:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求證:四邊形MPND是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于點F.
(1)求證:AF+EF=DE;
(2)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α,且0°<α<60°,其它條件不變,請在圖②中畫出變換后的圖形,并直接寫出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立;
(3)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β,且60°<β<180°,其它條件不變,如圖③.你認為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立,寫出證明過程;若不成立,請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長.
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