Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（﹣4，0），B（﹣1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于x軸的下方，當(dāng)△ABP的面積為15時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）3；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；（4）N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．

【解析】分析：

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx中列出關(guān)于a、b的方程組，解方程組求得a、b的值即可得到拋物線的解析式y=﹣x2﹣4x；

（2）將（1）中拋物線的解析式化為“頂點(diǎn)式”得到拋物線的對稱軸，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，這樣由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得S△ABC的值；

（3）如下圖1，過點(diǎn)P作PF垂直x軸，交直線AB于點(diǎn)F，先由A、B的坐標(biāo)求得直線AB的解析式y=x+4，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣4m），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+4），由此可得PF= m2+5m+4，然后由S△PAB=S△PFB-S△PFA=15可得：×（m2+5m+4）×[(-1-m)-(-4-m)]=15，解此方程求得m的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分點(diǎn)C、M、N分別為直角頂點(diǎn)三類情況進(jìn)行討論：I、①M(fèi)為直角頂點(diǎn)，且M在x軸上方；②M為直角頂點(diǎn)，且M在x軸的下方；II、①N為直角頂點(diǎn)，且N在y軸的右側(cè)；②N為直角頂點(diǎn)，且N在y軸的左側(cè)；III、C為直角頂點(diǎn)；根據(jù)上述情況畫出對應(yīng)的圖形，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析解答即可.

詳解：

（1）把點(diǎn)A（﹣4，0），B（﹣1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得，解得，

∴拋物線表達(dá)式為y=﹣x2﹣4x；

（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x+2）2+4，

∴拋物線對稱軸為x=﹣2，

∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，3），

∴C（﹣3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；

（3）如圖1，過P點(diǎn)作PF垂直x軸，交直線AB于點(diǎn)F，

∵A（﹣4，0），B（﹣1，3），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

則，解得，

即直線AB的解析式為y=x+4，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣4m），則F（m，m+4），

∴PF=m+4+m2+4m=m2+5m+4．

∴S△PAB=×（m2+5m+4）×3=15，

m2+5m﹣6=0，

解得m1=﹣6，m2=1，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；

（4）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴ON=OH+NH=2，

∴N（﹣2，0）；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，

作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH﹣OH=5﹣1=4，

∴N（4，0）；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3﹣1=2，

∴N（2，0）；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，

同理得ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（﹣4，0）；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，由于點(diǎn)C（-3，3）到x軸的距離和到拋物線對稱軸x=-2的距離不相等，所以此時(shí)不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上可知當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．