Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+3．

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、P、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，

∴B（3，0），C（0，3），

∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

∴ 解得 ，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+3

（2）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，﹣1），

∴如圖1所示，滿足條件的點(diǎn)M分別為

M1（2，7），M2（2，2 ﹣1），M3（2， ），M4（2，﹣2 ﹣1）

（3）

解：由（1）（2）得A（1，0），BP= ，BC=3 ，AB=2，

如圖2所示，連接BP，∠CBA=∠ABP=45°，

① = 時(shí)，△ABC∽△PBQ1，

此時(shí)， = ，

∴BQ1=3，

∴Q1（0，0）．

②當(dāng) = 時(shí)，△ABC∽△Q2BP，

此時(shí)， = ，

∴BQ2= ，

∴Q2（ ，0），

綜上所述，存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0）或（ ，0）．

【解析】（1）先求出B、C坐標(biāo)，代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．（2）分三種情形討論即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，畫出圖形即可解決問題．（3）分兩種情形討論即可① = 時(shí)，△ABC∽△PBQ1 ， 列出方程即可解決．②當(dāng) = 時(shí)，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解決．