Question

已知拋物線．

1.試說明：無論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

2.如圖，當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，并與它的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．

①拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

②平移直線CD，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（直接寫出平移的方法，不要說明理由）

 

Answer 1

 

1.該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

2.點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，0）;平行四邊形

解析:解：⑴ 該函數(shù)的判別式=m²﹣4m+7=（m﹣2）²+3>0

∴該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；……………………………………3分

⑵ 由直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（1，0）代入二次函數(shù)式則m=3

∴二次函數(shù)式為：             ……………………………………4分

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，則y=﹣2，

即頂點(diǎn)C為（3，﹣2），……………………………………5分

把x=3代入直線y=x﹣1則y=2，

即點(diǎn)D（3，2）        ……………………………………6分

設(shè)點(diǎn)P（x，），如右圖所示：

由題意知： PH=CH，（或PH=DH）

則

解得：x=3或x=5       ……………………………………8分

則點(diǎn)P（3，2）（與點(diǎn)D重合舍去）或（5，0）

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)（5，0）符合，

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，0）；……………………………………9分

(注：其它方法酌情給分)

②把直線CD向右平移1+個(gè)單位或2個(gè)單位，向左平移﹣1個(gè)單位，能使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．