Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過A（-1,0）、B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸下方，線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，直線y= x+ 交拋物線于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D，再沿DE以每秒鐘2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E，問：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（-1,0）、B（3,0）代入拋物線y=ax2+bx-3可得

，解得

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

（2）

解：作B′M⊥對(duì)稱軸，垂足為M，

∵∠BPB′=90°,

∴∠BPN+∠B′PM=90°，

∵∠BPN+∠PBN=90°，

∴∠PBN=∠B′PM，

∵∠BNP=∠PMB′=90°，PB=PB′，

∴△BNP≌△PMB′，

∴BN=PM，PN=MB′，

由A（-1,0）、B（3,0）得對(duì)稱軸為 x=1，

∴BN=3-1=2,

設(shè)P（1，m），∴B′（1-m，m-2）,

將B′（1-m，m-2）代入y=x2-2x-3，得（1-m）2-2（1-m）-3=m-2,

解得m1=-1,m2=2，

∵點(diǎn)P在x軸下方，∴m=-1，

∴P（1，-1）.

（3）

解：存在.∵直線y= 與y軸的交點(diǎn)為：G(0, ),

與x軸的交點(diǎn)為：A(-1，0)，

∴tan∠GAO= ，∴∠GAO=30°，

過點(diǎn)E作EF∥x軸，過點(diǎn)D作DF⊥EF，垂足為F，

∴∠FED=∠GAO=30°，∴DE=2DF，DF= ，

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則：t= ，

∴當(dāng)BD⊥x軸時(shí)，此時(shí)，B、D、F在同一直線上，且BF⊥EF，

根據(jù)垂線段最短可得：此時(shí)BD+DF最小，

此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒最少，如下圖：

將x=3代入y= 得y= ,

∴D（3， ）.

【解析】（1）將A（-1,0），B（3,0）代入拋物線解析式，列得方程組解出a，b即可；（2）作B′M⊥對(duì)稱軸，垂足為M，證明△BNP≌△PMB′，可設(shè)P（1，m），用m表示出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式，即可求得m；（3）由題可知要求“t= ”的最小值；過點(diǎn)E作EF∥x軸，過點(diǎn)D作DF⊥EF，垂足為F，由直線y= 易證得∠FED=∠GAO=30°，則可得DF= ，即 ，則當(dāng)B，D，F(xiàn)三點(diǎn)一線時(shí)，BD+DF最小.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．