Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于（x₁，0）、（x₂，0）兩點，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，與軸y交于點（0，-2）．下列結(jié)論：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a-b＜2；④a＜-1．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)拋物線的開口方向判斷出a的符號，再根據(jù)與y軸交點求出c=-2，
①將x=2代入原方程，可知此時y＜0，再根據(jù)c=-2即可求出2a+b＜1；
②根據(jù)0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判斷出1＜x₁+x₂＜3，再根據(jù)x₁+x₂=-，判斷出1＜-＜3，可知3a+b＜0；
③將x=-1代入y=a-b+c＜0，結(jié)合c=-2，可知a-b＜-c，即得a-b＜2；
④根據(jù)0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=＜2，求出c=-2，可判斷a＜-1．
解答：解：如圖：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且圖象與y軸相交于點（0，-2），
可知該拋物線開口向下即a＜0，c=-2，
①當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本選項錯誤；
②∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-，
∴1＜-＜3，
∴3a+b＜0，
故本選項錯誤；
③當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，
∵c=-2，
∴a-b＜-c，
即a-b＜2，
故本選項正確；
④∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本選項正確．
故選C．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖象找到所需的條件，同時利用根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)是解題的基本思路．