【題目】如圖已知點A (﹣2,4)和點B (1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述拋物線,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,若四邊形A A′B′B為菱形,求平移后拋物線的表達式;
(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點為點C,試在x軸上找點D,使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.
【答案】(1)m=﹣,n=4 (2)y=﹣(x﹣4)2+ (3)D(3,0)或(,0).
【解析】(1)已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標,將它們代入拋物線的解析式中,即可求得m、n的值.
(2)根據(jù)A、B的坐標,易求得AB的長;根據(jù)平移的性質(zhì)知:四邊形AA′B′B一定為平行四邊形,若四邊形AA′B′B為菱形,那么必須滿足AB=BB′,由此可確定平移的距離,根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式.
(3)易求得直線AB′的解析式,聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸,可得到C點的坐標,進而可求出AB、BC、AC、B′C的長;在(2)題中已經(jīng)證得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′對應,若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,可分兩種情況考慮:①∠B′CD=∠ABC,此時△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此時△B′DC∽△ABC;
根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段,即可求得不同的BD長,進而可求得D點的坐標.
解:(1)由于拋物線經(jīng)過A (﹣2,4)和點B (1,0),則有:
,解得;
故m=﹣,n=4.
(2)由(1)得:y=﹣x2﹣x+4=﹣(x+1)2+;
由A (﹣2,4)、B (1,0),可得AB==5;
若四邊形A A′B′B為菱形,則AB=BB′=5,即B′(6,0);
故拋物線需向右平移5個單位,即:
y=﹣(x+1﹣5)2+=﹣(x﹣4)2+.
(3)由(2)得:平移后拋物線的對稱軸為:x=4;
∵A(﹣2,4),B′(6,0),
∴直線AB′:y=﹣x+3;
當x=4時,y=1,故C(4,1);
所以:AC=3,B′C=,BC=;
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;
若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,則:
①∠B′CD=∠ABC,則△B′CD∽△ABC,可得:
=,即=,B′D=3,
此時D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,則△B′DC∽△ABC,可得:
=,即=,B′D=,
此時D(,0);
綜上所述,存在符合條件的D點,且坐標為:D(3,0)或(,0).
“點睛”此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識;(3)題中,在相似三角形的對應角和對應邊不確定的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于P,Q兩點給出如下定義:若點P到x,y軸的距離中的最大值等于點Q到x,y軸的距離中的最大值,則稱P,Q兩點為“等距點”圖中的P,Q兩點即為“等距點”.
(1)已知點A的坐標為.①在點中,為點A的“等距點”的是________;②若點B的坐標為,且A,B兩點為“等距點”,則點B的坐標為________.
(2)若兩點為“等距點”,求k的值.
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【題目】如圖,某校教學樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,∠α≤39°時,才能避免滑坡危險,學校為了消除安全隱患,決定對斜坡CD進行改造,在保持坡腳C不動的情況下,學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全?(結(jié)果取整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【題目】已知,如圖,線段AD=10cm,點B,C都是線段AD上的點,且AC=7cm,BD=4cm,若E,F分別是線段AB,CD的中點,求BC與EF的長度.
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【題目】供電局的電力維修工要到30千米遠的郊區(qū)進行電力搶修.技術(shù)工人騎摩托車先走,15分鐘后,搶修車裝載著所需材料出發(fā),結(jié)果他們同時到達.已知搶修車的速度是摩托車的1.5倍,求這兩種車的速度?
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【題目】如果一個多邊形的各邊都相等,且各內(nèi)角也都相等,那么這個多邊形就叫做正多邊形.如圖,就是一組正多邊形,觀察每個正多邊形中∠α的變化情況,解答下列問題:
(1)將下面的表格補充完整:
正多邊形邊數(shù) | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
∠α的度數(shù) | 60° | 45° |
|
| … |
|
(2)根據(jù)規(guī)律,是否存在一個正多邊形,其中的∠α=21°?若存在,請求出n的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.
(1)在圖1中,若∠ABC=∠ADC=90°,求證:AB+AD=AC;
(2)在圖2中,若∠ABC+∠ADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC.
(1)若AB=4,AC=5,則BC邊的取值范圍是 ;
(2)點D為BC延長線上一點,過點D作DE∥AC,交BA的延長線于點E,若∠E=55°,∠ACD=125°,求∠B的度數(shù).
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【題目】有兩根木條,一根AB長為100cm,另一根CD長為150cm,在它們的中點處各有一個小圓孔MN(圓孔直徑忽略不計,MN抽象成兩個點),將它們的一端重合,放置在同一條直線上,此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是____________cm.
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