Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，等邊三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），另一個(gè)頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）如果一個(gè)四邊形是以它的一條對(duì)角線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”。點(diǎn)Q在（1）的拋物線上，且以O、A、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是“箏形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）設(shè)△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點(diǎn)Q與⊙M的位置關(guān)系，并通過計(jì)算說明理由。

Answer 1

解：過B作BC⊥x軸于C.

∵ 等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，

∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°.

∴ BC=.

∴ B       ……………..1分

設(shè)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的

解析式為：.

將A（2，0）代入得：，

解得.

∴經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為

.

即.   …………………..2分

（2）依題意分為三種情況：

（ⅰ） 當(dāng)以OA、OB為邊時(shí)，

∵ OA=OB，

∴ 過O作OQ⊥AB交拋物線于Q.

則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°.

     作QD⊥軸于D，QD=OD,

設(shè)Q，則.

解得：.

∴Q.                           …………..2分

（ⅱ） 當(dāng)以OA、AB為邊時(shí)，由對(duì)稱性可知Q .    …………..1分

（ⅲ） 當(dāng)以OB、AB為邊時(shí)，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形.……..1分

∴Q或.

（3）點(diǎn)Q在內(nèi).

由等邊三角形性質(zhì)可知的外接圓圓心是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，

當(dāng)Q時(shí)，

∵MC∥QD,

∴△OMC∽△OQD.

∴.

∴.

∴ .

∴ =.

又,

∵<,

∴Q在⊙M內(nèi).                               ……………..2分

當(dāng)Q時(shí)，由對(duì)稱性可知點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).

綜述，點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).                                 ……………..1分