Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C移動，同時動點Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動，設(shè)它們的運動時間為t．

（1）t為何值時，△CPQ的面積等于△ABC面積的？

（2）運動幾秒時，△CPQ與△CBA相似？

（3）在運動過程中，PQ的長度能否為1cm？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過或秒后，△CPQ的面積等于△ABC面積的；（2）所需要的時間為1.2或秒；（3）在運動過程中，PQ的長度不能為1cm．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)經(jīng)過秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若②若然后列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理列方程，此方程無解，于是得到在運動過程中， 的長度能否為1cm．

試題解析：(1)經(jīng)過t秒后，PC=42t，CQ=t，

當(dāng)△CPQ的面積等于△ABC面積的時，

即

解得： 或；

∴經(jīng)過或秒后,△CPQ的面積等于△ABC面積的；

(2)設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若Rt△ABC∽Rt△QPC，則，即，解之得t=1.2；

②若Rt△ABC∽Rt△PQC，則， ，解之得t=；

由P點在BC邊上的運動速度為2cm/s,Q點在AC邊上的速度為1cm/s,可求出t的取值范圍應(yīng)該為0驗證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件，所以可知要使△CPQ與△CBA相似,所需要的時間為1.2或秒；

(3)

∵此方程無實數(shù)解，

∴在運動過程中，PQ的長度不能為1cm.