Question

7．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸交于點(diǎn)A，與直線y=x交于點(diǎn)B，沿M為線段OA的中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)M出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸分別向終點(diǎn)O、A運(yùn)動(dòng)，以CD為邊向上作正方形CDEF，設(shè)C、D兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的t（s）（t＞0）．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），△ABO的面積為24；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在直線y=-$\frac{1}{2}$x+6上時(shí)，求t的值；在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F能否與點(diǎn)B重合，請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明；
（3）設(shè)正方形CDEF與△ABO重疊部分圖形的面積為S，當(dāng)重疊部分圖形為五邊形時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（4）如圖②，在點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)過程中作點(diǎn)B關(guān)于直線EF、CF的對(duì)稱點(diǎn)G、H，請(qǐng)直接寫出以BG、BH為鄰邊的矩形與正方形CDEF重疊部分的面積小于$\frac{9}{8}$時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}X+6}\end{array}\right.$的解得到交點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可以求△AOB面積．
（2）①根據(jù)點(diǎn)E在AB上，利用相似三角形，可以確定t的值．
②先假設(shè)點(diǎn)F在直線AB上時(shí)，利用相似三角形求出t的值，進(jìn)而確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，就可以判斷點(diǎn)F與點(diǎn)B是否重合．
（3）先畫出圖象，有兩種情形，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出重疊部分的面積．
（4）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及矩形面積公式，列出關(guān)于t的不等式，然后求出t的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+6=0得x=12，故A（12，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，故B（4，4），
S_△ABO=$\frac{1}{2}×12×4$=24，
故答案分別為B（4，4），S_△ABO=24．

（2）圖1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)K，易知k（0，6），
∵ED∥KO，
∴$\frac{ED}{KO}=\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴t=$\frac{6}{5}$，
∴點(diǎn)E在直線AB上時(shí)，t=$\frac{6}{5}$．
圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，
∵FC∥OK，
∴$\frac{FC}{KO}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6+t}{12}$，
∴t=2，
∴FC=2t=4，AC=6+t=8，
∴OC=OC-AC=12-8=4，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為F（4，4），
∵B（4，4），
∴點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，
∴在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F能與點(diǎn)B重合．

（3）與（2）可知當(dāng)$\frac{6}{5}$＜t＜2或2＜t＜6時(shí)，正方形CDEF與△ABO重疊部分是五邊形．見圖3、圖4．
在圖3中，正方形EFCD的邊EF交AB于N，邊ED交AB于H，
∵DH∥KO，
∴$\frac{HD}{KO}$=$\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{HD}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴HD=$\frac{1}{2}（6-t）$，EH=2t-$\frac{1}{2}$（6-t）=$\frac{5}{2}$t-3，
∵NE∥AD，
∴△ENH∽△DAH，
∴$\frac{EN}{AD}=\frac{EH}{HD}$，
∴EN=5t-6，
∴S=（2t）²-$\frac{1}{2}$•（5t-6）•（$\frac{5}{2}t-3$）=-$\frac{9}{4}{t}^{2}$+15t-9
（$\frac{6}{5}＜t＜2$）
在圖4中，S=S_△AOB-S_△OCN-S_△ADH
=$\frac{1}{2}$×12×4-$\frac{1}{2}$•（6-t）²-$\frac{1}{2}$•（6-t）$•\frac{1}{2}（6-t）$
=24-27+9t-$\frac{3}{4}$t²
=-$\frac{3}{4}$t²+9t-3
（2＜t＜6）
綜上所述S與t關(guān)系：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}{t}^{2}+15t-9}&{（\frac{6}{5}＜t＜2）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+9t-3}&{（2＜t＜6）}\end{array}\right.$．




（4）圖5中，直線EF交BH于P，直線BH交OA于L，F(xiàn)C交HN于K，
∵B、H關(guān)于直線EF對(duì)稱，B、G關(guān)于直線FC對(duì)稱，
∴BP=PH=|4-2t|，HK=HN=|6-t-4|，
∴S_重疊=|6-t-4|•|4-2t|＜$\frac{9}{8}$
∴（t-2）²＜$\frac{9}{16}$
∴|t-2|＜$\frac{3}{4}$
∴-$\frac{3}{4}$＜t-2＜$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{5}{4}$＜t＜$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似形三角形的判定與性質(zhì)以及多邊形面積的求法，是一道運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)型（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）和動(dòng)線型，運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，難度頗大，對(duì)同學(xué)們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線的運(yùn)動(dòng)過程，是解題的要點(diǎn)．