Question

如圖①，若二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C．
（1）求b、c的值；
（2）證明：點(diǎn)C在所求的二次函數(shù)的圖象上；
（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)B作DB⊥x軸交正比例函數(shù)y=x的圖象于點(diǎn)D，連結(jié)AC，交正比例函數(shù)y=x的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD．如果動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AD方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D沿線段DC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ、QE、PE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使PE平分∠APQ，同時(shí)QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c的值；
（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．首先求出直線y=x與x軸所夾銳角為60°，則可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如答圖2所示，關(guān)鍵是證明△APE∽△CEQ．根據(jù)∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據(jù)相似線段比例關(guān)系列出方程，解方程求出時(shí)間t的值．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-2，0），B（3，0）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴，
解得：b=-，c=-．

（2）設(shè)點(diǎn)F在直線y=x上，且F（2，）．
如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，則FH=，OH=2，
∴tan∠FOB==，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．
連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K．
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．
∴∠COK=180°-∠AOE-∠COE=60°．
在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2×=，OK=OC•cos60°=2×=1．
∴C（1，-）．
拋物線的解析式為：y=x²-x-，當(dāng)x=1時(shí)，y=-，
∴點(diǎn)C在所求二次函數(shù)的圖象上．

（3）假設(shè)存在．
如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===．
如答圖2所示，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD===2．
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
∴CD=AD=2，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=．
連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四邊形內(nèi)角和等于360°）
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形內(nèi)角和定理）
∴∠AEP=∠CQE．
在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴，即：，
整理得：2t²-t+3=0，
解得：t=或t=（t＜，故舍去）
∴存在某一時(shí)刻，使PE平分∠APQ，同時(shí)QE平分∠PQC，此時(shí)t=．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、對(duì)稱(chēng)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)．試題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，圖形中線段較多關(guān)系復(fù)雜，難以從中發(fā)現(xiàn)有效的等量關(guān)系，證明△APE∽△CEQ是解題關(guān)鍵．