Question

【題目】已知直線y=2x+b與反比例函數(shù)y=的（k＞0）圖象交于點A，過點A作AB⊥x軸于點B，點D為線段AC的中點，BD交y軸于點E．

（1）若k=8，且點A的橫坐標為1，求b的值；

（2）已知△BEC的面積為4，則k的值為多少？

（3）在（2）的條件下，已知點E為△ABC的重心，且OE=2，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b=6；（2）k=8；（3）

【解析】

（1）將點的橫坐標代入解析式，即可求得點坐標為（1，8），再代入一次函數(shù)解析式即可求得；

（2）過點作軸與點，交軸于，易證，再分別設(shè)出每個點的坐標，即可表示出，因為點A既在拋物線上也在直線上，通過坐標進行轉(zhuǎn)化化簡后，可以求得；

（3）△BEC的面積為4，利用重心的性質(zhì)：可知DE：BE=1：2，進而可以求得△ABC的面積為12，進而求得BC、AB，過點D作DHAB于H，交軸于K，通過平行線分線段成比例，分別可求得DK、KH，即可知A點坐標，代入一次函數(shù)解析式，即可求解．

解：（1）∵，則反比例函數(shù)解析式為，將點A的橫坐標代入解析式，

解得，故點坐標為（1，8），再將點A代入一次函數(shù)解析式得，

解得=6；

（2）過點作軸與點，交軸于，則有，

∴，

∵為直角三角形，且點為中點，

∴，即，

∴，

在和 中 ，

∴，

∴，

設(shè)點B的坐標為（，），則A點的坐標為（，），C點的坐標為（，），

G點坐標為（，），F點坐標為（，），

∴ ，

而點A也在一次函數(shù)圖像上，故，代入上式，整理得：

，即，而，

故，即；

（3）∵E為重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，

∴DE：BE=1：2，而，

∴，即，

∵D為AC中點，

∴，

∵，OE=，

∴BC=，

∴， 即AB= ，

過點D作DHAB于點H，交軸于點，

則有：，DH為中位線，

∴， 即，

求得：，，

即點A坐標為（，6），再代入中，解得：．

故直線AC的解析式為：．