【題目】如圖，在 ABCD 中，AE、BF 分別平分∠DAB 和∠ABC，交 CD 于點 E、F，AE、BF 相交于點 M．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）判斷線段 DF 與 CE 的大小關系，并予以證明．

【答案】（1）詳見解析；（2）DF＝CE，證明詳見解析.

【解析】

試題（1）只要證明∠MAB+∠MBA=90°即可；

（2）結論：DF=CE．只要證明AD=DE，CF=BC，可得DE=CF即可解決問題；

（1）證明：∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠EAB=∠DAB，∠ABF=∠ABC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠DAB+∠ABC=180°，

∴∠EAB+∠ABF=×180°=90°，

∴AE⊥BF．

（2）DF=CE．

證明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB=∠EAD，

∵DC∥AB，

∴∠EAD=∠EAD，

∴AD=DE，

同理：FC=BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

∴DE=FC，

∴DF=CE．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后．點D與點B重合，點C落在點C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．

（1）求∠2、∠3的度數(shù)；

（2）求長方形紙片ABCD的面積S．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；

（2）問題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結EF、CF，那么下列結論①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是 （填序號）.

圖1 圖2 圖3

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，有一Rt△ABC，∠C＝90°且A(－1，3)、B(－3，－1)、C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉得到的．若點Q在x軸上，點P在直線AB上，要使以Q、P、A1、C1為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的點Q的坐標為______．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將直線y=3x+1向下平移1個單位長度，得到直線y=3x +m,若反比例函數(shù)的圖象與直線y=3x+m相交于點A，且點A 的縱坐標是3.

(1)求m和k的值;

(2) 直接寫出方程的解:

(3) 結合圖象求不等式的解集

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）解方程：

（2）已知關于的方程 的解是正數(shù)，求的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】完成下面的證明：

已知：如圖，四邊形ABCD中,∠A=106°, ∠ABC=74°,BD⊥DC于點D, EF⊥DC于點F.

求證：∠1=∠2.

證明: ∵∠A=106°,∠ABC=74° (已知)

∴∠A+∠ABC=180°

( )

∴∠1=

∵BD⊥DC,EF⊥DC (已知)

∴∠BDF=∠EFC=90°( )

∴BD∥ ( )

∴∠2= ( )

(已證)

∴∠1=∠2 ( )

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點與原點O重合，AB＝2，AD＝1，點Q的坐標為（0，2）．點P（x，0）在邊AB上運動，若過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則x的值為（　�。�

A. 或-B. 或-C. 或-D. 或-

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經與春晨運輸公司協(xié)商，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸．已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；租用2輛甲型汽車和1輛乙型汽車共需費用2450元，且同一種型號汽車每輛租車費用相同．

（1）求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費用分別是多少元？

（2）若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元．通過計算求出該公司有幾種租車方案？請你設計出來,并求出最低的租車費用．

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