Question

【題目】已知α+β=1，αβ=﹣1．設(shè)S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn,

（1）計算：S1=　 　，S2=　 　，S3=　 　，S4=　 　；

（2）試寫出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之間的關(guān)系；

（3）根據(jù)以上得出結(jié)論計算：α7+β7．

Answer 1

【答案】（1）1，3，4，7；（2）Sn=Sn﹣1+Sn﹣2；（3）29．

【解析】分析：（1）運用平方公式和立方公式變形成含α+β和αβ的形式求解；

（2）設(shè)α，β是方程x2﹣x﹣1=0的兩根，則有α2=α+1，β2=β+1，再代入計算即可；

（3）根據(jù)（2）將α7+β7變形成3S4+2S3的形式，再代入計算即可.

詳解：

（1）∵α+β=1，αβ=﹣1．

∴S1=α+β=1．

S2=α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=1+2=3．

S3=α3+β3=（α+β）（α2﹣αβ+β2）=（α+β）2﹣3αβ=1+3=4．

S4=α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2β2=9﹣2=7．

故答案為：1，3，4，7；

（2）由（1）得：Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．

證明：∵α，β是方程x2﹣x﹣1=0的兩根，

∴有：α2=α+1，β2=β+1，

Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+βn﹣1+αn﹣2+βn﹣2

=

=

=αn+βn

=Sn．

故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．

（3）由（2）有：

α7+β7=S7

=S6+S5

=S5+S4+S4+S3

=S4+S3+2S4+S3

=3S4+2S3

=3×7+2×4

=29．