Question

圖1，是邊長分別為a和b（a＞b）的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C′DE疊放在一起（C與C′重合）的圖形．
操作與思考：
操作：若將圖1中的△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，連接AD、BE，如圖2或如圖3；
思考：在圖2和圖3中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系，并說明理由．
猜想與發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上面的操作和思考過程，請你猜想：當(dāng)α為

180

度時(shí)，線段AD的長度最大，當(dāng)α為某個(gè)角度時(shí)，線段AD的長度最小，最小是

a-b

．

Answer 1

分析：在圖2中，根據(jù)△ABC和△C′DE都是等邊三角形得CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCE=∠ACD=α，則可根據(jù)“SAS”判斷△BCE≌△ACD，所以有BE=AD；在圖3中用同樣的方法可得到BE=AD；
根據(jù)前面的旋轉(zhuǎn)得到當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最大，則此時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為180°；當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最小，最小值為AC-CD．

解答：解：在圖2中，BE=AD．理由如下：
在圖1中，∵△ABC和△C′DE都是等邊三角形，
∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，
∵△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
在△BCE和△ACD中

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
在圖3中，BE=AD．理由如下：
∵△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
與前面一樣可證得△BCE≌△ACD（SAS），則BE=AD；
當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最大，所以α=180°；
當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時(shí)，此時(shí)線段AD的長度最小，最小值為AC-CD=a-b．
故答案為180°；a-b．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．