Question

如圖，△ABP與△CDP是兩個全等的等邊三角形，且PA⊥PD．有下列四個結論：
（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直線PC與AB垂直；（4）四邊形ABCD是軸對稱圖形．
其中正確結論個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出∠BPC的度數是360°-60°×2-90°=150°，再根據對稱性得到△BPC為等腰三角形，∠PBC即可求出；
（2）根據題意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；結合軸對稱圖形的定義與判定，可得四邊形ABCD是軸對稱圖形，進而可得②③④正確．
解答：解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
又∵△ABP與△CDP是兩個等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根據題意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°-150°）÷2=15°，
故本選項正確；

②∵∠ABC=60°+15°=75°，
∵AP=DP，
∴∠DAP=45°，
∵∠BAP=60°，
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，
∴AD∥BC；
故本選項正確；

③延長CP交于AB于點O．
∠APO=180°-（∠APD+∠CPD）=180°-（90°+60°）=180°-150°=30°，
∵∠PAB=60°，
∴∠AOP=30°+60°=90°，
故本選項正確；

④根據題意可得四邊形ABCD是軸對稱圖形，
故本選項正確．
綜上所述，以上四個命題都正確．
故選D．
點評：本題考查軸對稱圖形的定義與判定，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．