Question

（2006•孝感）如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)M，與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)N，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（用含b、c的式子表示）；
（2）當(dāng)S_△BMN=4S_△AMN時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接直線AB與拋物線的解析式即可得出A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可知：B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的4倍．已知拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即△=0，可得出另外一個(gè)關(guān)于b，c的關(guān)系式，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式即可求得b，c的值．也就能求出二次函數(shù)的解析式．
（3）本題要分情況進(jìn)行討論：
①PM=AM，那么將M點(diǎn)的坐標(biāo)向左或向右平移AM個(gè)單位即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②PA=AM，P點(diǎn)在AM的垂直平分線上，易知：M（2，0），A（0，2）因此三角形OMA是等腰直角三角形，O在AM的垂直平分線上，因此P，O重合，P點(diǎn)坐標(biāo)即為原點(diǎn)坐標(biāo)．
③PA=AM，P，M關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
綜上所述可得出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）
x₁=0，x₂=2-2b
當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁=c即A（0，c）
當(dāng)x₂=2-2b時(shí)，y₂=2-2b+c
即B（2-2b，2-2b+c）；

（2）2-2b-3c=0，△=0
得b²-2c=0，
聯(lián)立③，④得
（6+2）（36-2）=0
∴b₁=-2，b₂=
＞0，而a=＞0．
∴b＜0．
∴b=-2
當(dāng)b=-2時(shí)，代入④得c=2
∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x+2；

（3）存在符合條件的點(diǎn)P
P_l（2+2，0），P₂（0，0），P₃（2-2，0），P₄（-2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．
在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類討論，不要漏解．