Question

（一）問(wèn)題：你能比較兩個(gè)數(shù)2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？
為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出他的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪為自然數(shù)），然后我們分析這些簡(jiǎn)單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過(guò)歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過(guò)計(jì)算，比較下列各組數(shù)的大小：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴；⑤5⁶

 

6⁵…
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（n≥3）
（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小：
①2009²⁰¹⁰

 

2010²⁰⁰⁹；②-2009²⁰¹⁰

 

-2010²⁰⁰⁹
（二）請(qǐng)比較大小：

231981+1

231982+1

 

231982+1

231983+1

，并寫(xiě)出理由．

Answer 1

分析：（一）（1）通過(guò)計(jì)算求出各自的值比較大小；
（2）由第一問(wèn)中各兩數(shù)底數(shù)的規(guī)律以及指數(shù)的規(guī)律總結(jié)規(guī)律，第二個(gè)數(shù)的底數(shù)比第一個(gè)大1，指數(shù)小1；
（3）根據(jù)第二問(wèn)總結(jié)出的規(guī)律求解．對(duì)于負(fù)數(shù)的比較：首先取其絕對(duì)值，絕對(duì)值大的較�。�
（二）將兩式統(tǒng)分，再比較它們的大小關(guān)系．

解答：解：（一）
（1）分別求出各自的值然后比較兩數(shù)的大小；1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵；
（2）由第一問(wèn)得到規(guī)律，當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由第二問(wèn)中的規(guī)律得：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，不等式兩邊同乘以-1，不等號(hào)變換方向得-2009²⁰¹⁰＜-2010²⁰⁰⁹；

（二）．
對(duì)兩式統(tǒng)分，分母都為：（23¹⁹⁸²+1）（23¹⁹⁸³+1），分子分別為（23¹⁹⁸¹+1）（23¹⁹⁸³+1），（23¹⁹⁸²+1）²，
比較兩分子得原不等式大小為：

231981+1

231982+1

＞

231982+1

231983+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，題目比較難，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高，本題首先根據(jù)乘方運(yùn)算的法則得到第一問(wèn)的規(guī)律，然后根據(jù)此規(guī)律求解以下的問(wèn)題．對(duì)于（二）是利用通分比較兩式大�。�