Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A=30°．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O相切，

∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是正三角形，

∴∠OCB=60°，

又∵∠BCD=30°，

∴∠OCD=60°+30°=90°，

∴OC⊥CD，

又∵OC是半徑，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，

∵OC=1，

∴CD= ，

∴S△COD= OCCD= ，

又∵S扇形OCB= ，

∴S陰影=S△COD﹣S扇形OCB= ．

【解析】（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切；（2）根據(jù)已知可求得OC，CD的長(zhǎng)，則利用S陰影=S△COD﹣S扇形OCB求得陰影部分的面積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．