Question

【題目】已知：在中， ，點(diǎn)在上，連結(jié)，且．

(1)如圖1，求的度數(shù)；

(2) 如圖2， 點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求證： 是等腰直角三角形；

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作 交于點(diǎn)，且，若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)已知推出，然后利用三角形外角的性質(zhì)有，則，然后利用即可求解；

（2）由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，從而有，根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行可得出，進(jìn)而得出，然后通過(guò)等量代換得出 ，所以 ， ，則結(jié)論可證；

（3）首先證明，則有， ， ，然后證明得出，然后通過(guò)對(duì)角度的計(jì)算得出， ，同理證明點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上 ，則有

，所以 ，最后通過(guò)證明，得出，則答案可解 ．

（1）

（2）∵點(diǎn) 在線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)上

．

又

∴

是等腰直角三角形

（3）如圖 ，過(guò)作交 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) 于點(diǎn)，連接，令，與的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

在四邊形中，

又

又

又

又

又

又

∴點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上

同理點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上