Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

（1）連結(jié)，證明：；

（2）如圖二，過點A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連結(jié)PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;

（3）如圖三，過點A作半圓的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連結(jié)PA. 證明：PA是半圓的切線

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）

（3）證明略

解析:（1）證明：如圖一，∵，，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點，

∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，

∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC,

∴∠BF=∠CF

∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點，

∴F =A=E，F =A=D，       ……………………….2分

∠BD =90°，∠CE =90°，

∴∠BD=∠CE.

∴∠DF=∠FE.

∴.                 ………………………….3分

（2）解：如圖二，延長CA至G，使AG=AQ,連接BG、AE.

∵點E是半圓圓弧的中點，

∴AE=CE=3

∵AC為直徑

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

∵AQ是半圓的切線，

∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°   

∴AQ=AC=AG=

同理：∠BAP=90°，AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

∴.                                              ……………………..5分

∴PQ=BG

∵∠ACB=90°，

∴BC==

∴BG==

∴PQ=.                 …………………..6分

（3） 證法一：如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM.

∵F是BC邊的中點，∴.

∴BR=CS，

由（2）已證∠CAQ=90°,AC=AQ,

∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3,

同理：∠2=∠4,

∴，

∴AM=CS，

∴AM=BR，

同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上，

且∠DBR+∠DAR=180°,

∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°,

∴∠DBR=∠DAM

∴，

∴∠5=∠9,

∴∠RDM=90°，

∴∠5+∠7=90°，

∴∠6+∠8=90°，

∴∠PAB=90°，

∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑，

∴PA是半圓的切線.                ……………………..8分

證法二：假設(shè)PA不是是半圓的切線，如圖四，

過點A作半圓的切線交BD的延長線于點，則點異于點P，連結(jié)，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，直線FA與的交點為.延長AF至N，使得AF=FN，連結(jié)BN，CN，由于點F是BC中點，所以四邊形ABNC是平行四邊形.

易知，，

∵AQ是半圓的切線,

∴∠QAC=90°，同理.

∴.

∴.

由（2）可知，,

∴.

∴.

∵,

∴.

即  .

∴.

即  .

∵ ,

∴ 過點Q有兩條不同的直線和同時與AF垂直.

這與在平面內(nèi)過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾,

因此假設(shè)錯誤.所以PA是是半圓的切線.