Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA、OC分別為12cm、6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，且18a+c=0．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．
①移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A代入解析式求出c和a，最后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求出b，即可求出最后結(jié)果．
（2）①本題需根據(jù)題意列出S與t的關(guān)系式，再整理即可求出結(jié)果．
②本題需分三種情況：當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，然后分別代入拋物線的解析式中，即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）∵拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意知點(diǎn)A（0，-12），
所以c=-12，
又18a+c=0，
a=

2

3

，
∵AB∥OC，且AB=6cm，
∴拋物線的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

=3，
∴b=-4，
所以拋物線的解析式為y=

2

3

x2-4x-12；

（2）①S=

1

2

•2t•(6-t)=-t2+6t=-(t-3)2+9，（0＜t＜6）
②當(dāng)t=3時(shí)，S取最大值為9（cm²），
這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，-12），
點(diǎn)Q坐標(biāo)（6，-6）
若以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，-18），將（3，-18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)就是（3，-18），
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，-6），將（3，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件．
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（9，-6），將（9，-6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件．
綜上所述，點(diǎn)R坐標(biāo)為（3，-18）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意分類討論思想和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．