Question

【題目】（新知學(xué)習(xí)）

如果一個(gè)三角形有一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么我們就把這樣的三角形叫做“智慧三角形”．

（簡(jiǎn)單運(yùn)用）

（1）下列三個(gè)三角形，是智慧三角形的是______（填序號(hào)）；

（2）如圖，已知等邊三角形，請(qǐng)用刻度尺在該三角形邊上找出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，使為“智慧三角形”，并寫(xiě)出作法；

（深入探究）

（3）如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，試判斷是否為“智慧三角形”，并說(shuō)明理由；

（靈活應(yīng)用）

（4）如圖，等邊三角形邊長(zhǎng)．若動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿的邊運(yùn)動(dòng)．若另一動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿邊運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)首次回到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么為______時(shí)，為“智慧三角形”．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）詳見(jiàn)解析；（3）是“智慧三角形”，理由詳見(jiàn)解析；（4）1，，，7

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)即可判斷；

（2）用刻度尺分別量取AC、BC的中點(diǎn)D、D'，點(diǎn)D、D'即為所求；

（3）結(jié)論：△AEF是“智慧三角形”．利用勾股定理的逆定理證明△AEF是直角三角形即可；

（4）分當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上時(shí)和點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上兩種情形分別構(gòu)建方程求解即可．

（1）因?yàn)橹苯侨�角形的斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，所以①是“智慧三角形”．

故答案為：①．

（2）用刻度尺分別量取AC、BC的中點(diǎn)D、D'．

點(diǎn)D、D'即為所求．

（3）結(jié)論：△AEF是“智慧三角形“．

理由如下：如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a．

∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=EC=2a．

∵CFCD，∴FC=a，DF=4a﹣a=3a，

在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2

在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°．

∵直角三角形斜邊AF上的中線(xiàn)等于AF的一半，∴△AEF為“智慧三角形”．

（4）如圖3中，

①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上時(shí)，若∠PQB=90°，則BP=2BQ，∴5﹣t=4t，

解得：t=1．

若∠BPQ=90°，則BQ=2PB，∴2t=2（5﹣t），∴t．

②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上時(shí)，若∠PQB=90°，則BP=2BQ，∴t﹣5=2（15﹣2t），∴t=7，

若∠QPB=90°，則BQ=2PB，∴15﹣2t=2（t﹣5），∴t，

綜上所述：滿(mǎn)足條件的t的值為1或或或7．

故答案為：1或或或7．