解:(1)由△AOC∽△COB,可得OC
2=OA×OB=36,
∴OC=6
又∵點C在y軸的正半軸上,
∴點C的坐標(biāo)是(0,6);
(2)過點D作DE⊥BC于點E.設(shè)DB的長為m.
在Rt
△DEB中,DE=DB•sinB=m•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14827.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
m,BE=DB•cosB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
m
在Rt
△DEC中,∠DEC=45°,于是CE=DE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
m
由CE+BE=BC,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
m+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
m=3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,解得m=5
又由OA>OB,知點D在線段OA上,OB=3,所以O(shè)D=2,故點D(-2,0);
設(shè)直線l的解析式為:y=kx+b,把C(0,6)和D(-2,0)代入y=kx+b中,
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/417010.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/417011.png)
.
故直線l的解析式為:y=3x+6;
(3)①取AB的中點F(-4.5,0),過點F作BC的平行線交直線l于點P
1,連接CF.
易知S
△P1BC=S
△FBC=S
△ACB,∴點P
1為符合題意的點.
直線P
1F可由直線BC向左平移BF個單位得到(即向左平移7.5個單位)
而直線BC的解析式為y=-2x+6,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201310/52853f74155b7.png)
即直線P
1F的解的式為y=-2(x+7.5)+6即
y=-2x-9,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/417012.png)
得點P
1(-3,-3)
②在直線l上取點P
2使C P
2=C P
1,此時有S
△P2BC=S
△P1BC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△ACB,∴點符P
2合題意.
由C P
2=C P
1,可得點P
2的坐標(biāo)為(3,15),∴點P(-3,-3)或P(3,15)可使S
△PBC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△APBC;
(4)當(dāng)OC是菱形的對角線時,OC的中點的坐標(biāo)是(0,3),則把y=3代入l的解析式得:3x+6=3,
解得:x=-1.
則M的坐標(biāo)是(-1,3),N的坐標(biāo)是(1,3);
當(dāng)OC是菱形的一條邊時,點N的坐標(biāo)是(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10780.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
),(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/44407.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240208.png)
),(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/44407.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240208.png)
).
故N的坐標(biāo)是(1,3)或(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10780.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
)或(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/44407.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240208.png)
)或(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/44407.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240208.png)
).
分析:(1)OC是直角△ABC斜邊上的高線,則△AOC∽△COB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可求得OC的長,進而求得C的坐標(biāo);
(2)過點D作DE⊥BC于點E.設(shè)DB的長為m,在直角△BDE中,利用三角函數(shù)利用m表示出DE和BE的長,進而表示出CE的長,根據(jù)BE+CE=BC即可得到一個關(guān)于m的方程求得m的值,則D的橫坐標(biāo)即可求解,然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(3)延長AB到Q使BG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB,根據(jù)S
△PBC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△ABC則點P一定在經(jīng)過AB的中點或Q平行于直線BC的直線上,這條直線與l的交點就是P點;
(4)當(dāng)OC是菱形的對角線時,MN一定在AC的中垂線上,且MN一定關(guān)于OC對稱,據(jù)此即可求得N的坐標(biāo);
當(dāng)OC是菱形的一條邊時,依據(jù)M在直線l上,即可求得M的坐標(biāo),再由MN∥OC,MN=OC即可得出N點坐標(biāo).
點評:本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,以及三角形的面積,直線平行的條件,菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,正確進行討論是關(guān)鍵.