Question

全國第十屆數(shù)學(xué)教育方法論暨M(jìn)M課題實(shí)施20周年紀(jì)念活動(dòng)于9月27在無錫市一中拉開帷幕．與會(huì)期間全國數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙”課，武漢的裴光亞教授評(píng)價(jià)是：“栩栩如生，五彩繽紛”．課堂上老師提出這樣一個(gè)問題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個(gè)菱形嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：

（1）如果該矩形紙片的長為4，寬為3，則圖1、圖2兩圖中的菱形面積分別為：

 

．
（2）這時(shí)老師說，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來嗎？如圖3所示：在矩形ABCD中，設(shè)AB=3，AD=4，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注上適當(dāng)?shù)淖帜�，并求出這個(gè)菱形的面積．
（3）借題發(fā)揮：如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折疊該矩形，使得點(diǎn)D與AB邊的中點(diǎn)E重合，折痕交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，邊DC折疊后與BC交于點(diǎn)M．試求：△EBM的面積．

Answer 1

分析：（1）由菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半和正方形的面積公式計(jì)算；
（2）以BD為對(duì)角線，E、F分別在AD，BC上，且EF垂直平分BD，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的長，即為DE的長，則S_菱形EAFD=DE•AB；
（3）由于AE=BE=1，則在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可求得AF的值，由角的關(guān)系可求得△AEF∽△BME?

AF

BE

=

AE

BM

，求得BM的長，則S_△EBM=

1

2

BE•BM．

解答：解：（1）第一個(gè)菱形的面積=3×4÷2=6，
第二個(gè)菱形也是正方形，邊長為3，則其面積=3×3=9；

（2）如圖：（以BD或AC為對(duì)角線，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）
注意：只要畫出圖形，不必寫畫法，E、F略有位置誤差視情況給分（4分）
解：如圖設(shè)線段ED的長為x．
∵四邊形BFDE是菱形∴ED=BE=x
又∵矩形ABCD中AB=3，AD=4
∴AE=4-x
在Rt△ABE中AE²+AB²=BE²
∴（4-x）²+3²=x²（5分）
解之得：x=

25

8

∴ED=

25

8

（6分）
∴S_菱形EAFD=DE•AB=

75

8

（7分）

（3）如圖：
∵對(duì)折
∴DF=EF
設(shè)線段DF的長為x，則EF=x
∵AD=3
∴AF=3-x
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2
∴AE=BE=1
在Rt△AEF中有AE²+AF²=EF²
∴1²+（3-x）²=x²
解之得：x=

5

3

∴AF=3-x=

4

3

（8分）
在矩形ABCD中由于對(duì)折
∴∠D=∠FEM=90°∴∠1+∠2=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3
∴△AEF∽△BME，
∴

AF

BE

=

AE

BM

，
∴BM=

3

4

（9分）
∴S_△EBM=

1

2

BE•BM=

3

8

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，以及菱形和正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理．