Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠AED=∠ACB=90°，點D在AB上，M為DB的中點，連接EC，N是EC的中點，連接DN并延長交AC于點F．

求證：（1）≌；

（2）．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：(1)由已知可得∠EDA=∠BAC，從而可得ED∥FC，可得∠EDN=∠CFN，根據(jù)EN=CN利用AAS即可證得．

(2)連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF，首先得出△EDM≌△FBM（SAS），進(jìn)而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出EC=FC，由輔助線的作法及已知可知MN是△ECF的中位線，從而可知MN與CF的關(guān)系，進(jìn)而可得MN與EC的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）∵△ABC是等腰Rt△ABC和△AED是等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，

∴∠EAD=∠EDA=∠BAC =∠ABC=45°,

∴∠EAC=90°,

∴ED∥FC,

∴∠EDN=∠CFN,

∵N是EC的中點,

∴EN=CN,

又∵∠END=∠CNF

∴△EDN≌△CFN（AAS）

（2）連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF．

∵BM=MD,∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°

∴∠FBC=∠EAC=90°

∴△EAC≌△FBC

∴FC=EC,

又點M、N分別是EF、EC的中點，

∴MN=CF，

∴MN=CE．

考點：1、等腰直角三角形的性質(zhì)；2、三角形全等的判定與性質(zhì)；3、中位線．