Question

閱讀下列材料：
小貝遇到一個(gè)有趣的問題：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．現(xiàn)有一動點(diǎn)P按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動：它從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB邊夾角為45°的方向作直線運(yùn)動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運(yùn)動方向，沿著與這條邊夾角為45°的方向作直線運(yùn)動，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動，即當(dāng)P點(diǎn)碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45°的方向作直線運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45°的方向作直線運(yùn)動，…，如圖1所示，

問P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰幾次，P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過的路徑的總長是多少．小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形A₁B₁CD，由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)P₂P₃=P₂E，P₁A=P₁E．
請你參考小貝的思路解決下列問題：
（1）P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰

 

次；P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)到第一次與D點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過的路徑的總長是

 

cm；
（2）近一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD＞AB，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按照閱讀材料中動點(diǎn)的運(yùn)動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點(diǎn)第一次與B點(diǎn)重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）此題可通過動手畫圖來得到所求的結(jié)論，需要掌握的規(guī)律是相鄰的兩個(gè)P點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)所構(gòu)成的都是等腰直角三角形，如：△ABP₁、△P₁P₂C、△P₂DP₃等．由圖分析可知P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)重合前與邊相碰5次，所經(jīng)過的路徑的長=4AB

2

=24

2

．
（2）根據(jù)題（1）的規(guī)律，可設(shè)AB=x，BC=y，那么根據(jù)規(guī)律可知：AB=BP₁=x，CP₁=CP₂=y-x，DP₂=DP₃=x-（y-x）=2x-y，
AP₃=AP₄=y-（2x-y）=2y-2x，…依此類推，AP₇=AB=4y-4x；由于AB=x，則4y-4x=x，即4y=5x，故x：y=4：5；因此當(dāng)P點(diǎn)第一次與B點(diǎn)重合前相碰7次，那么AB：AD=4：5．

解答：解：（1）5；

（2）24

2

；解題思路示意圖：

（2）AB：AD=4：5．

點(diǎn)評：解決此題的關(guān)鍵在與掌握P點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，能夠理解每兩個(gè)相鄰P點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，是解答此題的關(guān)鍵．