Question

【題目】如圖①，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AB＝6，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

（3）如圖②，連接OD交AC于點G，若＝，求cosE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE，而AD⊥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OC∥AD，所以∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，則∠1＝∠2，所以AC平分∠DAB；

（2）如圖1，由B為OE的中點，AB為直徑得到OB＝BE＝3，OC＝3，在Rt△OCE中，由于OE＝2OC，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OEC＝30°，則∠COE＝60°，由CF⊥AB得∠OFC＝90°，所以∠OCF＝30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OF＝OC＝，再由勾股定理即可求出CF的長度；

（3）連結(jié)OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG，利用相似的性質(zhì)得==，再證明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，設(shè)⊙O的半徑為R，OE＝x，代入求得OE＝3R，最后在Rt△OCE中，根據(jù)余弦的定義求解．

（1）證明：連結(jié)OC，如圖1，

∵DE與⊙O切于點C，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴OC∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AC平分∠DAB；
（2）∵直徑AB＝6，B為OE的中點，
∴OB＝BE＝4，OC＝3，
在Rt△OCE中，OE＝2OC，
∴∠OEC＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC＝90°，
∴∠OCF＝30°，
∴OF＝＝OC＝，

∴由勾股定理可知：CF＝

（3）連結(jié)OC，如圖2，

∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴==，

∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴==，
設(shè)⊙O的半徑為R，OE＝x，
∴=，解得OE＝x＝3R，
在Rt△OCE中，
由勾股定理可知：CE＝2√2R，

cos∠E＝=.