Question

【題目】三角形紙片ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2．按圖①的方式在這張紙片中剪去一個盡可能大的正方形，稱為第1次剪取，記余下的兩個三角形面積和為S1；按圖②的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中，分別剪去盡可能大的正方形，稱為第2次剪取，記余下的兩個三角形面積和為S2；繼續(xù)操作下去……．

（1）如圖①，求和S1的值；

（2）第n次剪取后，余下的所有三角形面積之和Sn為________．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2） ．

【解析】【試題分析】（1）設CE的長為x，由題意得，AF=1－x，FD=x，由于DF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論得，ADF∽ABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，得 = ，即 ，解方程得x= ，則 ，則S1=×1×2-=

（2）第一個圖形中，S1=，即S1是 的；第二個圖形中，S2是 和的\和的，即S2= ，…則Sn=

【試題解析】

（1）設CE的長為x，由題意得，AF=1－x，FD=x，

∵DF∥BC，∴ADF∽ABC，

∴ = ，即 ，解得x= ，

則

則S1=×1×2-=

（2）第一個圖形中，S1=，即S1是 的；第二個圖形中，S2是 和的\和的，即S2= ，…,以此類推，則Sn=