Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，b），點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)D（-2，0），其中a、b滿足， DE⊥x軸，且∠BED=∠ABO，直線AE交x軸于點(diǎn)C.

⑴ 分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

⑵ 求證：△AOB≌△BDE，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)

⑶ 若以AB為腰在第一象限內(nèi)構(gòu)造等腰直角△ABF，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】⑴ 點(diǎn)A（0，3）；點(diǎn)B（1，0）；⑵見解析，E（-2，1）；⑶（3，4）或（4，1）

【解析】

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性，即可求出a、b，從而求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0），即可求出OA、OB、OD的長，從而證出OA= DB，再利用AAS即可證出：△AOB≌△BDE，從而得到OB=DE=1，最后即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)等腰直角三角形腰的情況分類討論：①若AB=AF，且∠BAF=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，利用AAS證出△AOB≌△FGA，從而得到OB=GA=1，AO=FG=3，即可求出GO，從而求出F點(diǎn)坐標(biāo)；②若AB=BF，且∠ABF=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于G，原理同上.

解：（1）∵

∴

解得：

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2） ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）

∴OA=3，OB=1，OD=2

∴DB= OD+ OB=3

∴OA= DB

在△AOB和△BDE中

∴△AOB≌△BDE

∴OB=DE=1

∵E點(diǎn)在第二象限

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2，1）

（3） ①若AB=AF，且∠BAF=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，如下圖所示

∴∠GAF＋∠OAB=90°，∠GAF＋∠GFA =90°

∴∠OAB=∠GFA

在△AOB和△FGA中

∴△AOB≌△FGA

∴OB=GA=1，AO=FG=3

∴GO= GA+ AO=4

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（3，4）；

②若AB=BF，且∠ABF=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于G

同理可證：△AOB≌△BGF

∴OB=GF=1，AO=BG=3

∴OG=OB+BG=4

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（4，1）

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4）或（4，1）