Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE交CD于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)G，連接CG，下列說(shuō)法：①AG＞GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值 ﹣1．其中正確的說(shuō)法有（ ）個(gè)．

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解答】∵四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，

∴∠AGB=90°，
∴G點(diǎn)在以AB為直徑，AB中點(diǎn)O為圓心的圓弧上，
∴當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與D點(diǎn)重合，此時(shí)G為AC中點(diǎn)，
∴AG=GE，
故①錯(cuò)誤.
∵當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓，
又∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴圓弧的長(zhǎng)為：×2××1=.
故③錯(cuò)誤.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
又∵BF⊥AE，
∴∠AGB=90°，
即∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠GBE=∠BAG，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
故②正確.
當(dāng)O、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，CG取得最小，
∵OB=1，BC=2，
∴OC==，
∴CG=OC-OG=-1，
故④正確.
所以答案是：C.
①由題意得∠AGB=90°，G點(diǎn)在以AB為直徑，AB中點(diǎn)O為圓心的圓弧上；故當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與D點(diǎn)重合，此時(shí)G為AC中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤.
②由正方形的性質(zhì)得出，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG，再利用ASA得出△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AE=BF，故②正確.
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，此時(shí)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓，從而得出②錯(cuò)誤.
④當(dāng)O、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，CG取得最小，根據(jù)勾股定理得出OC的長(zhǎng)度，再由CG=OC-OG得出④正確.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．