Question

觀察：已知x≠1．
（1-x）（1+x+x²）=1-x³
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=______
（1）根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=______
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=______
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=______
（2）通過以上規(guī)律請(qǐng)你進(jìn)行下面的探素：
①（a-b）（a+b）=______
②（a-b）（a²+ab+b²）=______
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=______
根據(jù)尋找的規(guī)律解答下列問：
（3）判斷2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說明你的理由．

Answer 1

解：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（1）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（2）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（3）2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）=-（1-2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹-1，
∵2011÷4=502…3，
而2的乘方的個(gè)位數(shù)是2、4、8、6的循環(huán)，
∴2²⁰¹¹-1的個(gè)位數(shù)為7．
故答案為1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1；a²-b²；a³-b³；a⁴-b⁴．
分析：根據(jù)題意易得（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；（1）利用猜想的結(jié)論得到①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；②先變形2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1），然后利用上述結(jié)論寫出結(jié)果；③先變形得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹），然后利用上述結(jié)論寫出結(jié)果；
（2）根據(jù)規(guī)律易得）①（a-b）（a+b）=a²-b²；②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（3）由2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）=-（1-2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹-1，根據(jù)2的乘方的個(gè)位數(shù)是2、4、8、6的循環(huán)和2011÷4=502…3，即可得到
2²⁰¹¹-1的個(gè)位數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了整式的混合運(yùn)算：先進(jìn)行乘方運(yùn)算，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號(hào)先算括號(hào)．也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．