Question

如圖，已知CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)P是

AB

上一點(diǎn)，且∠BPC=60°．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明你的理由；
（2）若DM=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理，即可得AC=BC，然后由圓周角定理，即可求得∠BAC=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理，即可證得△ABC是等邊三角形；
（2）首先連接OA，AD，即可證得△OAD是等邊三角形，然后根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，即可求得AD的長，繼而可得⊙O的半徑．

解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．
理由：∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，
∴

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）連接OA，AD，
∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，
∴∠CAD=90°，∠DCA=

1

2

∠BCA=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠MAD=30°，△AOD是等邊三角形，
∵DM=2，
∴AD=2DM=4，
∴OD=4，
∴⊙O的半徑為4．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．