Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為直角邊在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，連接CE．

（1）如圖①，當(dāng)點D在線段BC上時：

①BC與CE的位置關(guān)系為　 　；

②BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為　 　．

（2）如圖②，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若不成立，請你寫出正確結(jié)論，并給予證明．

（3）如圖③，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CE；②BC＝CD+CE；（2）結(jié)論①成立，②不成立，結(jié)論：CD＝BC+CE；（3）CE＝BC+CD．

【解析】

(1)①利用條件求出△ABD≌△ACE，隨之即可得出位置關(guān)系.

②根據(jù)BD＝CE，可得BC＝BD+CD＝CE+CD．

（2）根據(jù)第二問的條件得出△ABD≌△ACE，隨之即可證明結(jié)論是否成立.

(3)分析新的位置關(guān)系得出△ABD≌△ACE，即可得出CE＝BC+CD.

（1）如圖1．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，①∵∠ACE＝45°＝∠ACB，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE；

②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD．

故答案為：BC⊥CE，BC＝CD+CE；

（2）結(jié)論①成立，②不成立，結(jié)論：CD＝BC+CE

理由：如圖2中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE

∵∠ACB＝45°

∴∠DCE＝90°，∴CE⊥BC；

（3）如圖3中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD

即∠BAD＝∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD．

故答案為：CE＝BC+CD．