Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

小題1:若AC=8，AB=12，求⊙O的半徑；
小題2:連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由

Answer 1

小題1:設(shè)⊙O的半徑為r.
∵BC切⊙O于點D ∴OD⊥BC
∵∠C=90° ∴OD∥AC ∴△OBD∽△ABC.   …………………………2分
∴ = ，即  解得： 

∴⊙O的半徑為………………………4分
小題2:四邊形OFDE是菱形      ………………5分
∵四邊形BDEF是平行四邊形 ∴∠DEF=∠B.
∵∠DEF=∠DOB∴∠B=∠DOB.
∵∠ODB=90° ∴∠DOB+∠B=90° ∴∠DOB=60°
∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形
∴OD=DE∵OD=OF∴DE=OF∴四邊形OFDE是平行四邊形  ………7分
∵OE=OF∴平行四邊形OFDE是菱形.  …………………………………8分

（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則，從而求得r；（2）由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B= ∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據(jù)OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．