如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點E是DC的中點,過點E作DC的垂線交AB于點P,交CB的延長線于點M.點F在線段ME上,且滿足CF=AD,MF=MA.

 

 (1)若∠MFC=120°,求證:AM=2MB;

 (2)求證:∠MPB=90°-∠FCM.  

 

【答案】

(1) 連結(jié)MD,

  E是DC的中點,且ME⊥DC

   EM是CD的垂直平分線

   MD=MC

   △AMD和△FMC中

       AM=FM

       MD=MC

       AD=FC

   △AMD△FMC  (SSS)

   MAD=MFC=125

   又AD∥BC  且∠ABC=90

       BAD=90

       MAB=35

       MB=AM

      即MB=MF

      MF=2MB

 (2)  MD=MC 且ME⊥DC       

         ME平分DMC

        FMC=DMC

        又 AD∥MC

           DMC=ADM

        又△AMD△FMC

          ADM=FCM

          DMC=FCM

          FMC=FCM

          Rt△BPM中

          MPB=90-FMC

          =90-FCM

【解析】(1)連接MD,由于點E是DC的中點,ME⊥DC,所以MD=MC,然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°,接著得到∠MAB=30°,再根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM;

(2)利用(1)的結(jié)論得到∠ADM=∠FCM,又AD∥BC,所以∠ADM=∠CMD,由此得到∠CMD=∠FCM,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠CME=∠FCM,再根據(jù)已知條件即可解決問題.

 

練習冊系列答案
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20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點.將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結(jié)果精確到0.1cm)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動,E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關于t的函數(shù)關系式,并求出y的最小值.

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(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
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(1)求y與x之間的函數(shù)關式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

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(1)經(jīng)過幾秒鐘,點P、Q之間的距離為5cm?
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