Question

【題目】如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上．

（1）求證：∠CAD=∠BDC；

（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2．

【解析】（1）連接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根據切線的性質及直徑所對的圓周角等于180°，利用等角的余角相等，即可證出∠CAD=∠BDC；

（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根據相似三角形的性質結合BD=AD、AC=3，即可求出CD的長．

詳（1）證明：連接OD，如圖所示．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，

∴∠ODB+∠BDC=90°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠OBD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BDC．

（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，

∴△CDB∽△CAD，

∴．

∵BD=AD，

∴，

∴，

又∵AC=3，

∴CD=2．