Question

 如圖，拋物線關于直線對稱，與坐標軸交于A、B、C三點，且AB=4，點D在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點O是坐標原點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）把拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點，問在y軸負半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關于y軸對稱？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）∵拋物線關于直線x=1對稱，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

                ∴可設拋物線的解析式為。

          ∵點D在拋物線上，∴，解得。

          ∴拋物線的解析式為，即。

  

（2）∵，

∴把拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的解析式為。

假設在y軸上存在一點P(0，t)，t＜0，使直線PM與PN關于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，

∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁。

∴………①。

不妨設M(x_M,y_M)在點N(x_N,y_N)的左側(cè)，

因為P點在y軸負半軸上，則①式變?yōu)?sub>。

又∵，

∴………②。

把代入中，整理得。

∴，代入②得，解得，符合條件。

∴在y軸負半軸上存在一點P（0，），使直線PM與PN總是關于y軸對稱。

【考點】二次函數(shù)綜合題，平移和軸對稱問題，待定系數(shù)法的應用，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系。