Question

19．如圖，已知圓O的直徑AB與CD互相垂直，E為OB中點，CE的延長線交圓O于G，AG交CD于F，求$\frac{DF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 如圖，連接AD、DG，過點F作FH⊥AD于點H，設OC=x，則OE=BE=$\frac{1}{2}$x，根據勾股定理求得CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x、AD=$\sqrt{2}$x，由∠ADO=45°知DH=FH、AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，證Rt△COE∽Rt△AHF得$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，可得FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，繼而可知DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，由CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x可得答案．

解答 解：如圖，連接AD、DG，過點F作FH⊥AD于點H，

設OC=x，則OE=BE=$\frac{1}{2}$x，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∵∠ADO=45°，
∴DH=FH，
則AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，
∵∠DAF=∠DCG，∠AHF=∠COE，
∴Rt△COE∽Rt△AHF，
∴$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，即$\frac{FH}{\sqrt{2}x-FH}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{x}$，
解得：FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，
∴DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，
∵CD=2OC=2x，
∴CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x，
則$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{4}{3}x}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查圓周角定理、勾股定理、相似三角形判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質表示出所需線段的長度是解題的關鍵．