Question

（2006•湘潭模擬）如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉，證明：無論正方形OMNP旋轉到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值．

Answer 1

【答案】分析：本題可分兩種情況進行討論，當OP過C點的時候，重疊的部分是三角形OBC，此時面積是正方形的，即25．
當旋轉到如圖所示的位置時，重疊的部分是個四邊形．可通過構建全等三角形來將面積進行適當?shù)霓D換，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F．那么OECF就應該是個正方形．OE=OF=5，由旋轉的性質(zhì)我們可得出∠EOG=∠HOF，三角形EOG和三角形FOH中又有一組直角，因此兩三角形全等，那么他們的面積就相等，于是我們發(fā)現(xiàn)四邊形OGCH的面積正好是正方形OECF的面積即為25．
解答：解：當OP∥AD或OP經(jīng)過C點，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，
即25，當OP在如圖位置時，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，
如圖在Rt△OEG與Rt△OFH中，∠EOG=∠HOF，OE=OF=5，
∴△OEG≌△OFH，
∴S_{四邊形OHCG}=S_{四邊形OECF}=25，即兩個正方形重疊部分的面積為25．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點，本題利用構建全等三角形來將所求的面積進行轉化是解題的關鍵．