Question

（2013•懷柔區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．
（1）b=

-2

，c=

-3

；
（2）點E是Rt△ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA+OC求出AC的長，根據BC=AC，求出BC的長，根據OC與BC的長求出B的坐標，將A與B坐標代入拋物線解析式即可求出b與c的值；
（2）設直線AB的解析式為y=px+q，將A與B坐標代入求出p與q的值，確定出直線AB解析式，再由拋物線解析式，設出E與F坐標，兩縱坐標相減表示出EF，利用二次函數的性質求出EF的最大值，以及此時t的值，即可確定出此時E的坐標；
（3）存在，分兩種情況考慮：（i）過點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²-2m-3），由E的縱坐標與P縱坐標相等列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出P₁，P₂的坐標；（ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²-2n-3），根據F的縱坐標與P的縱坐標相等列出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P₃的坐標，綜上得到所有滿足題意P得坐標．

解答：解：（1）由OA=1，得到A（-1，0）；由BC=AC=OA+OC=1+4=5，得到B（4，5），
將A與B坐標代入拋物線y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：b=-2，c=-3；　　　　　　　　　　

（2）∵直線AB：y=px+q，經過點A（-1，0），B（4，5），
∴

-p+q=0 4p+q=5

，
解得：

p=1 q=1

，
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數y=x²-2x-3，
∴設點E（t，t+1），則F（t，t²-2t-3）
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴當t=

3

2

時，EF的最大值=

25

4

，
∴點E的坐標為（

3

2

，

5

2

）；

（3）存在，分兩種情況考慮：
（�。┻^點E作a⊥EF交拋物線于點P，設點P（m，m²-2m-3），
則有：m²-2m-3=

5

2

，
解得：m₁=

2- 26

2

，m₂=

2+ 26

2

，
∴P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

）；

（ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P₃，設P₃（n，n²-2n-3），
則有：n²-2n-3=-

15

4

，
解得：n₁=

1

2

，n₂=

3

2

（與點F重合，舍去），
∴P₃（

1

2

，-

15

4

），
綜上所述：所有點P的坐標：P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

），P₃（

1

2

，-

15

4

），能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．
故答案為：-2；-3．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，利用了數形結合及分類討論的思想，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．