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如圖所示,圓O是△ABC的外接圓,∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I,延長AI交圓O于點D,連接BD、DC.
(1)求證:BD=DC=DI;
(2)若圓O的半徑為10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面積.
【答案】分析:(1)根據題意可得∠BAD=∠DAC,進而可得BD=DC.同理可得∠BAD=∠DBC,易證△BDI為等腰三角形.結合BD=ID,容易得到證明.
(2)根據圓內接四邊形的性質與圓周角定理,可得∠DBC=∠DCB=60°,△BDC為正三角形.又OB=10cm,可得△BDC的面積.
解答:(1)證明:∵AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
=
∴BD=DC.                                       
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD,
∴∠DBI=∠DIB,
∴△BDI為等腰三角形,
∴BD=ID,
∴BD=DC=DI.                                    

(2)解:當∠BAC=120°時,△ABC為鈍角三角形,
∴圓心O在△ABC外.
連接OB、OD、OC.
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°,
∴∠DBC=∠DCB=60°,
∴△BDC為正三角形.                             
∴OB是∠DBC的平分線,
延長CO交BD于點E,則OE⊥BD,
∴BE=BD,
又∵OB=10,
∴BD=2OBcos30°=2×10×=10
∴CE=BD•sin60°=10×=15,
∴S△BDC=BD•CE=×10×15=75
答:△BDC的面積為75cm2
點評:此題綜合性較強,綜合考查了等腰梯形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定、角平分線的性質等知識點.
練習冊系列答案
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