Question

已知△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，BE=12，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，F(xiàn)C=5，且∠EDF=90°，求EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：作出圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD=BD=CD，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠BDE=∠ADF，再利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=BE，DE=DF，然后求出BD的長(zhǎng)，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，然后求出EG、DG，再利用勾股定理列式求出DE的長(zhǎng)，在Rt△DEF中，利用勾股定理列式求解EF即可．

解答：解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∵

∠B=∠DAF=45° AD=BD ∠BDE=∠ADF

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴AF=BE，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE=12，F(xiàn)C=5，
∴AC=AF+FC=BE+FC=12+5=17，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

×

2

AC=

2

2

×17=

17 2

2

，
過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，
則BG=EG=

2

2

×12=6

2

，
GD=

17 2

2

-6

2

=

5 2

2

，
在Rt△DEG中，DE=

EG2+DG2

=

(6 2 )2+( 5 2 2 )2

=

13 2

2

，
故EF=

2

DE=

2

×

13 2

2

=13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．