Question

如圖，拋物線y=﹣x²+x+2與x軸交于C．A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，OB=4．點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，E為線段AB的中點(diǎn)．
（1）分別求出點(diǎn)A．點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)D，求k值；
（4）兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿AB．AO方向向B．O移動(dòng)，點(diǎn)P每秒移動(dòng)1個(gè)單位，點(diǎn)Q每秒移動(dòng)個(gè)單位，設(shè)△POQ的面積為S，移動(dòng)時(shí)間為t，問：S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，即﹣x²+ x+2=0；
解得 x₁=﹣ ，x₂=2 ．
∴C（﹣ ，0）、A（2 ，0）．令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．綜上，A（2 ，0）、B（0，2）．
（2）令A(yù)B方程為y=k₁x+2因?yàn)辄c(diǎn)A（2 ，0）在直線上，
∴0=k₁2 +2
∴k₁=﹣ 
∴直線AB的解析式為y=﹣ x+2．
（3）由A（2 ，0）、B（0，2）得：OA=2 ，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°； OD與O點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱
∴OD=OA=2 
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為3，即D（ ，3）．
因?yàn)閥= 過點(diǎn)D，
∴3= ，
∴k=3 ．
（4）AP=t，AQ= t，P到x軸的距離：AP·sin30°= t，OQ=OA﹣AQ=2 ﹣ t；
∴S△OPQ= ·（2 ﹣ t）· t=﹣ （t﹣2 ）2+ ；
依題意， 得0＜t≤4
∴當(dāng)t=2 時(shí)，S有最大值為 ．