Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度數(shù)；

（2）求證：DF是⊙O的切線；

（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）證明見解析；（3）2．

【解析】

試題分析：（1）直接利用圓周角定理得出∠CDE的度數(shù)；

（2）直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進而得出答案；

（3）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出AD，DC的長，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值．

試題解析：（1）∵對角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；

（2）連接DO，∵∠EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切線；

（3）如圖所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴，∴=ADDE，∵AC=DE，∴設(shè)DE=x，則AC=x，則=ADDE，即=ADx，整理得：，解得：AD=4x或﹣4.5x（負數(shù)舍去），則DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD==2．