Question

已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），以AB為直徑畫圓．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求該圓與拋物線交點(diǎn)（除A、B外）坐標(biāo)；
（3）以AB的中點(diǎn)O′為圓心畫圓，該圓的半徑r與此拋物線的交點(diǎn)個數(shù)有何關(guān)系（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)A、B的坐標(biāo)用交點(diǎn)式的二次函數(shù)通式來設(shè)這個二次函數(shù)，然后根據(jù)C的坐標(biāo)來確定其解析式．
（2）可求E、F兩點(diǎn)中任何一個的坐標(biāo)，以E點(diǎn)為例，過E作ED⊥AB于D，連接BE，先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，如E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），可用m、n表示出AD、DE、BD的長，根據(jù)射影定理可得出DE²=AD•DE，即可得出關(guān)于m、n的等量關(guān)系式，然后可依據(jù)E是拋物線上的點(diǎn)，將E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出另外一個關(guān)于m、n的關(guān)系式，讓這兩個式子聯(lián)立，即可求出m，n的值，也就得出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）可先求出圓O′與拋物線相切時的圓的半徑是多少．可設(shè)相切時，切點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），可根據(jù)O′、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出O′E的長度，也就得出了半徑的長，設(shè)半徑為r，那么就得出了關(guān)于r、m、n的等量關(guān)系式．又有E是拋物線上的點(diǎn)，可將E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得出關(guān)于m，n的等量關(guān)系式，然后聯(lián)立兩式即可得出關(guān)于、r的方程．已知了此時圓與拋物線相切，因此有兩個切點(diǎn)．可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出此時r的值．然后根據(jù)這個半徑的值即可得出半徑在不同的取值范圍中，圓與拋物線的不同的位置關(guān)系，也就可得出了交點(diǎn)的個數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵此拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，2）
∴a+b+c=0，9a+3b+c=0，c=3
∴a=1，b=-4，c=3
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3

（2）過E作ED⊥AB于D，連接BE
設(shè)交點(diǎn)E（m，n）則AD=m-1，BD=3-m，DE=-n
∵AB為圓的直徑
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠EDB=90°
∴∠DEB+∠ABE=90°
∴∠DEB=∠EAB
∴△ADE∽△EDB
∴

AD

DE

=

DE

DB

∴

m-1

-n

=

-n

3-m

∴m²-4m+3=-n²
又∵E（m，n）在拋物線y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3
∴n=-n²
∴n=-1或n=0（不合題意舍去）
∴m=2
∴該圓與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）

（3）設(shè)當(dāng)拋物線與圓相切時E（m，n），則O′E²=（2-m）²+（-n）²
∴r²=（2-m）²+（-n）²
又∵E（m，n）在拋物線y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3=（m-2）²-1
∴r²=（2-m）²+（（m-2）²-1）²
∴（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0
∵當(dāng)拋物線與圓相切時只有兩個交點(diǎn)
∴m只有兩個正數(shù)解
∵方程（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0中m-2的兩個解均為正數(shù)
∴此方程的b²-4ac=0
∴r=

3

2

∵當(dāng)r=1時有三個交點(diǎn)
∴當(dāng)0＜r＜

3

2

時無交點(diǎn)；
當(dāng)r=

3

2

或r＞1時有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)r=1時有三個交點(diǎn)；
當(dāng)

3

2

＜r＜1時有四個交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題結(jié)合圓的知識考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解答是本題的基本思路．