Question

【題目】如圖：一次函數(shù) 的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)（0＜x＜4）圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，連接OP.

（1）當(dāng)AP為何值時(shí)，△OPM的面積最大？并求出最大值；

（2）當(dāng)△BOP為等腰三角形時(shí)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(2，)．

【解析】

（1）令P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），根據(jù)三角形面積公式列出S△OPM關(guān)于x0的二次函數(shù)解析式，確定最大值，進(jìn)而根據(jù)相似比求出當(dāng)△OPM面積最大時(shí)AP的長(zhǎng)即可；（2）將情況分為BO＝BP以及OP＝BP兩種進(jìn)行討論：①當(dāng)BO＝BP時(shí)，根據(jù)三角形相似求出MP的長(zhǎng)，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)OP＝BP時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于點(diǎn)N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ON＝OB，ON的長(zhǎng)即為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將ON＝2代入一次函數(shù)解析式中即可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo).

（1）令點(diǎn)的坐標(biāo)為，

軸，

將代入得

當(dāng)時(shí)，的面積，有最大值，

即：，

，

即

直線分別交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)、，

，，

，，

，

；

（2）①在中，當(dāng)時(shí)

，

，

，

將代入代入中，得

，；

②在中，當(dāng)時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

，

將代入中得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即：點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．